$$ 当在实数域上时，比较简单： \\ \left| A+C \right|=\left| B+C \right| \\ 取C=-A+C'，则C'也是任意的对称矩阵 \\ \left| C' \right|=\left| \left( B-A \right) +C' \right| \\ 再取C'=-\lambda I \\ \left| \lambda I \right|=\left| \lambda I-\left( B-A \right) \right|=0 \\ \Rightarrow B-A的特征值全为0. \\ B-A合同于\mathrm{diag}\left( 0,0,0,\cdots ,0 \right) \\ 存在可逆矩阵P，使得B-A=P^T\mathrm{diag}\left( 0,0,0,\cdots ,0 \right) P=O \\ 再考虑一般域.考虑数学归纳法.不妨设B=O. \\ n=1时，命题显然成立； \\ 假设阶数小于n时，命题均成立.当A为n阶矩阵时，考虑分块 \\ \left| \begin{matrix} C_1& 0\\ 0& c\\ \end{matrix} \right|=\left| \left( \begin{matrix} A_1& \alpha\\ \alpha ^T& a\\ \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} C_1& 0\\ 0& c\\ \end{matrix} \right) \right|=\left| \begin{matrix} A_1+C_1& \alpha\\ \alpha ^T& a+c\\ \end{matrix} \right| \\ 两边对c求导得到： \\ \left| \begin{matrix} C_1& 0\\ 0& 1\\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} A_1+C_1& 0\\ \alpha ^T& 1\\ \end{matrix} \right| \\ \left| C_1 \right|=\left| A_1+C_1 \right|，由归纳假设A_1=O \\ 考虑置换矩阵群左右作用于A，从而A_1可以遍历A的所有n-1阶“子式”. \\ 从而A=O. $$