Problem
$A,B\text{是三阶矩阵}. \text{证明：}\det \left( AB-BA \right) =\frac{1}{3}\mathrm{tr}\left[ \left( AB-BA \right) ^3 \right] . $
三阶矩阵换位子的行列式
行列式 Hamilton-Cayley定理 特征值与特征多项式 迹 2023级浙大直博高代真题
$A,B是三阶矩阵. 证明：\det \left( AB-BA \right) =\frac{1}{3}\mathrm{tr}\left[ \left( AB-BA \right) ^3 \right] . $
Tips Answer
Tips:
考虑利用Hamilton-Cayley定理找到恒等式.
Answer:
$$ 记M=AB-BA. f\left( \lambda \right) =\left| \lambda I-M \right|=\lambda ^3-\mathrm{tr}\left( M \right) \lambda ^2+?\lambda -\det \left( M \right) \\ 因为tr\left( M \right) =0，且f\left( M \right) =0，从而有： \\ M^3=?M+\det \left( M \right) I \\ 两边同时取tr得到：tr\left( M^3 \right) =?\cdot 0+3\det \left( M \right) \\ 也即\det \left( M \right) =\frac{1}{3}\mathrm{tr}\left( M^3 \right) $$
评论
声望榜
