$$证明：存在收敛级数\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}，使得\sum_{n=1}^{\infty}{\mathrm{arctan} a_n}发散.$$ 事实上，读者可以根据解答思路，进一步证明，存在收敛级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$，使得$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}^{k}}$发散，其中$k$为大于1的固定正整数.
Tips Answer回顾 $\displaystyle \mathrm{arctan} x=x-\frac{1}{3}x^3+o\left( x^4 \right) $，从而目标转为，寻找一个收敛级数，使得$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}^{3}}$发散且$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}^{4}}$收敛. 考虑$\displaystyle x^3=1$的单位根$\displaystyle \omega =\cos \frac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\sin \frac{2\pi}{3}$，构造级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\cos \frac{2n\pi}{3}}{\sqrt[3]{n}}} $$ 只需注意到： $$ \cos ^3\frac{2n\pi}{3}=\cos \frac{2n\pi}{3}\cdot \frac{1+\cos \frac{4n\pi}{3}}{2}=\frac{\cos \frac{2n\pi}{3}}{2}+\frac{\cos 2n\pi +\cos \frac{2n\pi}{3}}{4}=\frac{1+3\cos \frac{2n\pi}{3}}{4} $$ 利用AD判别法，即可知道$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\cos \frac{2n\pi}{3}}{\sqrt[3]{n}}}, \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\cos \frac{2n\pi}{3}}{n}}$ 均收敛，再根据比较判别法知$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\cos ^4\frac{2n\pi}{3}}{n^{4/3}}}$收敛，最后根据调和级数（或p级数）知发散，从而命题得证.
